Mucho tiempo para doblar por estos lados no hay ultimamente, pero por lo menos me mantengo diseñando con la cabeza hasta que llegue el momento de poder concretar... Este es un diseño simple, de hecho es muy rápido de doblar (cosa que no es común en mi), la gracia de este radica que es una estructura definida en 9°, por un tema de compatibilidad la figura de partida es un pentágono, si bien es cierto 9° también es compatible con los 90° del cuadrado la constructibilidad de este es muy tediosa y difícil. Ya hace un tiempo determiné un pentágono perfecto y de área máxima lo que me da buenos resultados empíricos para todas las pruebas y las locuras que a veces se ocurren jejeje... Esta es una orquídea general, la que me ha servido para "ubicarme" en el pentágono, tiene su pariente en 22,5° entonces digo también que esta es análoga en proceso de análisis y de doblado. (Perdón por el papel, pero era lo que había en la casa a esas horas :))
Debo decir que no cambio mi preferencia por el cuadrado, pero ahora creo válido la utilización de FIGURAS REGULARES, como punto de partida, perdón a los que los fanáticos de los rectángulos.
Gill es el líder de los peces del acuario en la película "FindingNemo" ("Buscando a Nemo" para la gente bonita) es un pez de la especie "zancluscornutus" que destaca por su bello rallado corporal entre negro y blanco. Si bien es cierto este modelo no luce tan caricaturesco como su inspirador recibe su nombre por una cosa simplemente lúdica.
El modelo es un modelo estructuralmente simétrico, ya que su base es estable en el proceso, solo al momento del acabado y el acomodo de ciertas capas dispone que la base sea asimétrica, ya que como el modelo posee la cola vertical tiene que hacerse de esta forma, primero para dejar la cola vertical y segundo para trancar el modelo lo más posible y que a este no se le suelten las capas con un juego de tensión en seco.
La estructura esta totalmente descrita en 22,5° y trata de destacar lo mas importante del animal con un realismo intermedio.
Bruno Nicanor es el carismático perro de mi novia, es (se supone) un dálmata, pero es demasiado corpulento y grande para serlo en un 100% jajaja, el modelo ya salio hace tiempo, pero cuando lo doble la primera vez no lo fotografié ni me quedé con el, ya que se lo llevo Lus de Pessoa de Brasil, asi que me quede con las ganas de mostrarlo, ahora ya me hice un poco de tiempo y lo retomé.
El modelo es asímetrico, funciona con una rotación, tiene una base que es simétrica, pero la he rotado en 11,25º para poder generar mas cambios de color.
Además de la asimetría estructural este modelo es completamente asimétrico visualmente, digo esto porque a veces son necesarias bases asimétricas para modelos que se ven simétricos, por ejemplo los peces que tienen la cola vertical o algunos casos de figura humana.
La idea básica de la estructura es muy simple, pero el principio para desarrolar el cambio de color lo complejiza de cierto modo que obliga a abandonar la estructuras clasicas de 22,5 llevando a trabajar en angulo que son dependientes del proceso de plegado y de la postura final que se le quiera dar el modelo. Las manchas son totalmente modificables y esta es solo una intrepretación, podrian exitir muchos diferentes.
Hace rato que no daba vueltas por acá, debe ser porque los esfuerzos se concentran en otros proyectos como por ejemplo para los que no lo conozcan la revista virtual de origami que editamos con 4 amigos mas 4esquinas
aproveche mientras lo hacemos por amor al arte jjoaeojaeojae
Bueno volviendo y retomando el espacio...
Como siempre a partir de una sola hoja de papel de unos 35 cm de lado aprox.
Esta es la versión 2.0 de mi Estegosaurio, estructuralmente y visualmente diferente al primero, (aunque la idea básica se conserva) la característica mas fuerte de este modelo es que posee cambio de color en las placas :D.
Versión 1
Al igual que en la versión previa las patas salen desde el centro de la hoja lo que facilita que sean corpulentas al momento del modelado. la estructura esta basada en 22,5° y la proporción de este también a diferencia del anterior que estaba proporcionado en 1/8 del papel.
Las placas son todas pertenecientes a los bordes de papel, por eso la posibilidad de cambios de color.
Como ultimo dato esta resuelto de manera análoga al "Camello Bactriano", con una de las tres moléculas que se presentan en esa entrada para el tratamiento de áreas de la figura... entonces el truco esta en añadir una franja de papel central para que en vez de 2 patas salgan 2 o para la analogía del camello sería para que este tuviese cuatro jorobas ;D entonces la estructura se basa en que lo correspondiente a las jorobas son las patas y las patas son correspondientes a las placas =)
Abrasos ingratos para todos :P PD: más fotos y más trabajos aquí
Los chanchitos de tierra son un tipo de ciempiés y por tal condición para los que no los conocían poseen un gran número de patas. En la búsqueda de una construcción de moléculas mas simple y una utilización de puntos de referencia racionales es que he desarrollado este modelo usando una clásica estructura de acordeón pero si acondicionada con triángulos rectángulos del tipo pitagórico. Todos sabemos que el boxpleated es una estructura coordenada y doblada a partir de un plano coordenado que nos permite trabajarlo al igual que un plano cartesiano, por lo tanto cada cosa que usemos dentro de este universo debe ser de este tipo, me refiero a elemento con medidas racionales. El incentro es el lugar geométrico donde se encuentran las bisectrices de un triangulo, si observamos la fórmula del incentro notamos que si los lados y los puntos donde esta dibujado nuestro triangulo son puntos racionales el incentro tendrá una coordenada racional. Para esto nosotros nos apoderamos de una de las condiciones del boxpleated asumiendo siempre triángulos rectángulos.
El problema radica en que triángulos utilizar que sean rectángulos y que tengan medidas racionales… la siguiente formula nos permite encontrar todas las posibles ternas pitagóricas racionales.
Con 0 < n < m; m y n enteros de paridad distinta. Esto es fácil de probar. Ahora para la mayoría de mis estructuras con acondicionamiento pitagórico utilizo los triángulos de 3:4:5 por su similitud a una estructura de 22,5º y porque es el que me ha dado mejores resultados para mis diseños. Ahora yo decido crear una molécula que a partir de su multiplicidad sea posible generar todas las puntas que necesito con una referencia racional y con una multiplicidad sencilla para poder ensamblar el modelo total.
Así entonces cuando las moléculas se unen se obtiene algo así lo cual nos da un árbol con una distribución de segmentos intercalados para generar nuestro chanchito de tierra.
No soy de esas personas a las cuales les guste celebrar muchas cosas, no es por ser apático pero no le doy mucha importancia a cosas que tengan de cierto modo una masividad inscrita… Así es como pasan las fiestas de fin de año por mi sin mayores sobresaltos de los que puede generarme la gente a mi alrededor… hoy es un día particular y cualquier persona podría rebozar de alegría… hoy es mi cumpleaños y créanme que no me genera gran cosa el celebrarlo ni el hecho que me lo celebren…hoy solo pienso una cosa… para mi no existe ese año nuevo de 31 en la noche y 1 en la madrugada… y tampoco lo había cuando cumplía un año mas de vida, pero en esta ocasión quiero pensar un poco distinto… quiero dejar de lado ciertas cosas que han marcado el año viejo que paso y que obligan a este año nuevo a ser mejor… se que no diré tu nombre y que quien lea esto no sabrá que eres tu pero aquí hay algo que cuando lo veas sabrás de que se trata… Sabrás que me refiero a ti y que eres una de las razones por las cuales quiero celebrar un año más de vida…
El diseño de este modelo o mas bien la génesis de este no son complicadas… si ven el cp pueden darse cuenta que la estructura es mas bien regular… me refiero a regular porque en general tiene elementos bastante reconocibles así es como se puede notar que las referencias para su ensamble están dadas por una base de pez y que a partir de esta se desprenden toda una estructura estrictamente en 22,5º .
Para los que sepan cual es la cabeza podrán notar que en si es la típica cabeza de jirafa (la estructura) y que en realidad con esta clásica estructura se pueden formar muchas cosas, entre ellas manos, aletas para peces león, puntas para dinosaurios como lo han hecho otros autores…
Esta jirafa es una remasterización de un diseño antiguo… de hecho el archivo de cp se llama jirafa simple y ya hace un tiempo había doblado una versión que me gustaba y que en si se veía bien como jirafa… ahora… Que es en realidad una base? En este caso pensé inmediatamente al momento de doblar la nueva versión que una base en realidad es un modelo terminado con acabados pobres…entendiendo base como una estructura en particular que define un modelo en si, ya dejando de lado las estructuras tradicionales… en otras palabra hablando de un diseño orientado a formas.
Entonces es posible redefinir en ocasiones modelos que se ven bastante puritanos y convertirlos en una opción mas realista con un poco mas de trabajo sobre una misma estructura… El trabajo estructural siempre tiene que ser el que debemos buscar… en si será nuestra carta de presentación al momento de mostrar nuestros cps… no debe ser en estricto complejo ni demasiado fácil, solo debe mostrar el nivel en que te gusta diseñar y la visión que tienes del espacio.
Cuando nos decidimos por un sujeto en origami ¿Por qué lo elegimos? Para esa pregunta hay una infinidad de respuestas, por lo general yo los elijo porque me imagino los detalles en origami o mas bien lo que me gustaría lograr… Un día revisando un diccionario ilustrado que tengo para mis consultas de lenguaje me encontré con una foto, para ser mas exacto con la ilustración de un camello y me gusto tanto el dibujo que decidí intentar diseñar uno
Como ya dije habitualmente elijo mis modelos por como me imagino los detalles ¿y esto como se puede llegar a proyectar en la cabeza? Con un poco de memoria y observación podemos ir almacenando partes y partes, la idea siempre va a ser saber lo que queremos obtener, y para el caso de un cuadrúpedo vamos a evitar por obviedad como nos imaginamos las patas y la cola (como sacarlas otro cuento), pero lo que mas me importaba eran las jorobas y pensemos un momento y aunque muy lógica puede ser la pregunta, ¿de donde las vamos a sacar? La respuesta es simple y parece
obvia dentro del sistema de trabajo que estamos visualizando (un sistema netamente simétrico) la cual es desde el centro del papel…
Y ahora ¿como las quiero? Sabiendo que las jorobas salen del centro lo primero que pensé fue que salieran definitivamente 2 puntas desde el centro y no dos esbozos de puntas como podrían ser secciones de 45 grados como lo hacen algunos… Ahora voy a detallar el proceso de análisis y el uso de algunas estructuras que hemos tratado anteriormente y un arreglo bastante útil que veremos de donde sale y como se construye. Lo primero que pensé fue en una base blintz-pájaro ¿y porque esa? Como nosotros somos observadores y conocemos perfectamente como es una base pájaro sabemos que una base blintz-pájaro que tiene en total 4 puntas pequeñas mas 9 puntas largas (pasamos por alto el análisis de longitudes ya que ya fue analizado anteriormente) una de las cuales sale del centro del papel y eso ya suple uno de los objetivos.
Ahora analicemos que nos sirve, que no y que nos falta… Teniendo en cuenta que nuestro modelo tendrá orientación diagonal observamos que la punta central será la que ocuparemos para la joroba, las 2 laterales las usaremos para las patas, una de las esquinas será la cabeza y de las puntas pequeñas usaremos dos para los mechones de pelo sobre las patas delanteras… nos damos cuenta que la gran mayoría de las puntas no nos sirven pero ya tenemos solucionados varios problemas. Ahora que nos falta? Nos falta medio camello que para los efectos de no complicar el diseño lo que decido es tomar otra blintz-pájaro de las cuales decido ocupar la punta central para la joroba, las puntas laterales para las patas traseras y 2 puntas pequeñas nos darán la posibilidad de generar los muslos. Como las insertamos en un mismo papel? Esto lo hemos hecho antes y siempre recomendaré para efectos de inserción de bases (a menos que ya tengas experiencia y reconozcas o seas capas de proyectar los resultados) que las bases insertadas sean iguales y luego ir cambiando las proporciones. Entonces tenemos esto…
Sabemos que mucho de esto no sirve, así que hay que eliminarlo y a la vez conectar nuestras 2 bases y esto lo haremos de la siguiente manera.
¿Logras notar que la estructura que hemos utilizado para conectar la describimos en entradas anteriores? Si bien es cierto esto aun no esta compensado y solo es la idea de la conexión tenemos que probarla y encontrar la manera de estabilizarla. El siguiente dibujo es la idea compensada.
A veces debe costar un poco a simple vista notar que nuestro camello esta un poco largo de cuerpo pero al momento de doblar el patrón se puede apreciar que las jorobas están bastante distantes entre si. ¿Entonces como lo arreglamos? Lo que debemos hacer es redefinir la proporción. Como ya vimos en un principio cuando insertamos las bases estas estaban ubicadas respecto de los puntos medios de los lados del cuadrado. Correcto? Eso significa que se podían localizar con el simple hecho de doblar las diagonales o doblar las mediatrices siendo cualquiera de las dos anteriores una condición suficiente para su localización. Entonces podríamos cambiar la proporción y así acortar el tronco del camello y para visualizar esto recomiendo ver la siguiente foto.
Para esa foto he tomado una proporción arbitraria y solo para que se vea como se mantiene la misma estructura que hemos predicho y como las partes de nuestro camello se han acercado entre si. Luego de un par de pruebas me decido por una proporción en función de raíz de dos y localizo la estructura de nuevo y pliego tal cual para seguir con los otros detalles.
Hay ocasiones en donde se puede saber perfectamente que es lo que vamos a obtener y determinar completamente los radios de las puntas que definen nuestro modelo, pero hay otros casos en donde eso no es posible y es en esos casos en donde solo la observación y nuestra percepción del entorno son las que nos ayudan, o simplemente complejizar mas el cuento determinando el modelo a partir de las medidas de los rasgos reales, como se haría con el métodos de círculos y ríos… Hagamos el siguiente ejercicio.
En la primera figura se presenta una media base pájaro estirada, la segunda imagen es la misma base pero presentada con otra distribución de capas, la tercera figura ya es la decisiva y la mas importante y es necesario observarla con calma… notemos como la segunda figura es expandida a un rectángulo el cual a sido compensado con pliegues solo en orientación de 22,5º para un perfecto ensamble en 2 dimensiones, además de darnos un punto el cual divide la estructura en dos partes iguales que son perfectamente independientes una de la otra con lo que se puede lograr la cuarta y ultima figura. El cuarto dibujo se nos hace algo familiar (cierto?) si no es así quizás la siguiente imagen refresque tus memoria…
Luego de leer esto ya tienes algo que no se usa todos los días pero que con un poco de ingenio puede salvar mas de un modelo… en la figura anterior distinguimos 2 configuraciones que ya había tratado y anteriormente habíamos dicho que la única diferencia era el tipo de sección que arrojaban en nuestro modelo, y ahora… Sorpresa! Ya tenemos otra configuración que hace exactamente lo mismo que las dos primeras pero que las secciones son las determinantes de su diferencia (pruébalo! Es muy interesante comprender su construcción y sus usos) ¿Y lo ultimo para que? Ya que hemos conectado nuestro modelo con la segunda estructura de la lámina anterior consideré que la sección para generar las partes laterales del animal no era suficiente para cubrir un área decente para generar el vientre, entonces ocupo la tercera configuración y ahora esto lo doblamos análogamente al diseño preliminar.
Llegando ya a este punto y para los aplicados que doblen los Cps y en especial el de la última lámina podrán notar que solo nos falta definir la cabeza y la cola en lo que se refiere a las partes fundamentales… Luego hay que terminar de definir cada sección visible de nuestro modelo o lo que vendría siendo en otras palabras darle la vida que necesita nuestro doblado para parecer lo que queremos representar.
Este ya es el plano final en donde aparecen todas las secciones definidas y vemos como una simple base con la que hemos empezado se puede convertir en un hermoso plano lleno geometría! ¿Lograr ver partes iniciales? Para los que puedan obtener el libro de la convención 15 de Tanteidan pueden intentar doblar este modelo de manera secuenciada y para los que no lo puedan obtener pueden intentar a partir del plano de desarrollo que deje anteriormente.
Hace tiempo que no me daba una vuelta por estos lugares, pasa que a veces peco de flojo, pero no de ese flojo letárgico, si no que a veces me ocurre que me dedico solo a inventar y inventar, estudiar y estudiar y nunca a plegar modelos que me gustan y que de cierto modo son bastante especiales a la hora de sumar y sacar las cuentas en estos casi cuatro añitos recién cumplidos de papiroflecta (que siútica esa palabra). cuando recién empezaba la tercera figura que invente fue un león, figura que pueden verla en la galería de origami chile y los diagramas en la convención de valencia 2006, el cuento es que esa figura me marcó y no porque fuera bonita ni nada por el estilo sino que fue la que me enseño a crear (cosa que no se aprende ni en los libros ni en los blogs).
hace un tiempo este año recordando ese león y mis intentos fallidos volvió a mi memoria que el objetivo principal era que tuviera cambio de color en la melena, cosa que no ocurrió por mi nula experiencia en cambios de colores.... pero siendo bien sincero son pocos los que tienen ese don innato de la "bicoloridad" en el papel, aparte que es a veces bien difícil viviendo en un mundo donde la mayoría de las cosas no tienen 2 colores...
bueno, llego el momento en el que tenia mas experiencia, ya tenia mas pelitos y mi cabeza en origami funcionaba distinto, así que me decidí a crear un nuevo león, que lo único en común con el primero es que los dos son leones (y eso si es bueno)...
Ahora llegamos al 2009 y se nota como he aprendido cosas nuevas, para los mas entendidos en cps y si es que alguien se anima a doblar esta figura (u.u) notara que las proporción que presenta no es sencilla y esto se debe a que obedece fuertemente a la proporcionalidad en raíz de 2, y fue necesario una buena dosis de pruebas y error para encontrar la proporción que mas se acomodaba a lo que quería obtener.
y es así como lo he doblado nuevamente un par de veces para arreglar algunos detalles y yo mismo convencerme. Y como la vida es loca doble´ este ultimo para que se fuera dar una vuelta a España jolines! y no crean que uno es tan flojo...
Que pasa cuando nos enfrentamos a un modelo el cual tiene algunos requerimientos especiales más allá de la cantidad de puntas, si no querequiere cuidado en la distribución de estas. Si nos damos tiempo para pensar y revisar lo que tenemos hasta ahora (mirándolo desde el punto de vista de este Blog) nos damos cuenta que hemos utilizado solo bases conocidas y que las hemos hecho actuar de manera conjunta sin que nos preocupemos mas que por la cantidad de puntas que nos entregan y un poco de espacio entre ellas, ¿pero podemos manejar longitudes de una base que queramos construir?
Llamaremos puntos de salida a aquellos puntos en los cuales se esta liberando una aleta en nuestro papel.
Comenzaremos con un triangulo cualquiera, la manera de pegar esta figura es bastante simple y consiste en doblar sus bisectrices y sus puntos de salida están dados por la línea perpendicular a sus lados que sale desde el incentro.
En rigor no es la única forma de plegar un triangulo, pero si es la única forma de doblarlo y que quede plano o en otras palabras que sus segmentos liberados estén sobre un mismo eje y eso es lo que nos importa. El pliegue que hemos generado es conocido por todos y para el que no lo sepa por ponerle nombre algún sujeto lo nombró pliegue oreja de conejo. La secuencia y el triangulo mostrado son solo para hacer una generalidad, pero a partir de este pliegue podemos construir todas las bases tradicionales.
Si tomamos un cuadrado unidad y aplicamos el mismo sistema, ya sea dividiéndolo en triángulos o como cuadrilátero es posible aplanarlo sin problema, ahora ¿podemos manejar las longitudes de este cuadrado?
Hay que tener en claro que la acción de manejar las longitudes no generará segmentos totalmente independientes, esto significa que un segmento es la consecuencia de otro. Observemos la base pez y noten como he tomado sus líneas fundamentales y las he reducido de escala progresivamente hasta 0 y he logrado la base bomba de agua.
¿Interesante u obvio?
Si aislamos la figura es sencillo ver lo que pasa y como se comporta el punto de salida que sigue saliendo desde el incentro.
Lo que hemos hecho es solo una particularidad, pero nos permite hacernos una idea de cómo un segmento influye en el otro y a la vez darnos luces de los elementos necesarios para lograr una generalización, ahora hagamos lo mismo con la base pájaro.
Si tomamos un cuadrilátero cualquiera con bisectrices que llegan a un único punto en él entonces es posible ensamblarlo de la misma manera que la base bomba de agua.
Observemos los siguientes diagramas de círculos para nuestro cuadrilátero, podemos ver como los círculos en el primero son tangentes entre ellos indicando así el radio de acción de cada punta, en la segunda figura vemos que los puntos tangentes a la circunferencia inscrita en el cuadrilátero son los mismo que delimitan el actuar de los segmentos.
Ahora veamos que dentro del mismo cuadrilátero podemos inscribir distintos tipos de diagramas de círculos tangentes entre si.
Elegiremos uno al azar y lo haremos cumplir con las condiciones dispuestas por los círculos
Vemos que la orientación que hemos elegido es completamente posible de doblar, y si bien es cierto que es un poco minucioso el doblado de esta, las ventajas en cuanto a distribución de segmentos son importantes. Es importante decir que esta no es la única manera de conseguir esta misma distribución, pero si la que personalmente me gusta. Ahora, si miramos el plano de la estructura que hemos generado observaremos que las longitudes de los segmentes son dirigidas desde las cúspides de los dos triángulos en el centro de la estructura y que en si esta funcionando de la misma manera que los sistemas en 22,5 grados descritos en las entradas anteriores con triángulos de compensación.
La pata que le faltaba a la construcción geométrica
El origami hace mucho tiempo que dejo de ser un arte netamente figurativo, cuantos de nosotros no hemos escuchado que el origami es el espacio donde el arte y la ciencia se conectan, bueno esta será una entrada dedicada a esta frase y a las posibilidades que nos ofrece el origami para nuestros propósitos de construcción geométrica de proporciones.
Lo primero que debemos conocer y dominar es la axiomática presente en cada modelo que doblamos y aprenderemos a aplicarla de manera de obtener resultados interesantes del punto de vista práctico y analítico.
Los axiomas del origami son 6 y se los debemos al Italo-japonés Humiaki Huzita, el cual ha hecho las siguientes formulaciones
Los axiomas van en orden de complejidad y este al ser el primero es el mas simple, este axioma es equivalente por ejemplo al doblado de una diagonal en nuestro cuadrado de unidad.
El segundo axioma es equivalente por ejemplo al igual que el primero al doblado de una diagonal esto se hace superponiendo dos esquinas contrarias en nuestro cuadrado o uniendo dos esquinas contiguas doblando así la mediana de nuestro cuadrado de unidad.
El tercer axioma es equivalente al doblado de media base cometa, o simplemente cualquier bisectriz en el cuadrado como por ejemplo puedes tomar dos lados contiguos del cuadrado y posar uno sobre el otro doblando así una diagonal de este bisectando el ángulo de 90º.
Una línea perpendicular a otra se puede construir en origami simplemente poniendo un extremo de la línea sobre ella misma, ahora el punto P1 simplemente dará la altura a la que esta pasando la perpendicular. ¿Puedes construir una recta paralela a una recta extraña?
Para mirar este axioma de la manera más simple diremos que es equivalente al doblado de una diagonal. La parábola es el lugar geométrico de todos los puntosque equidistan de un punto llamado foco y una recta llamada directriz de la parábola, en otras palabras el incremento es tangente a la parábola con foco P1 y directriz L1.
El proceso consiste en posar varios puntos arbitrarios o referenciados de L1 sobre P1. P1 actúa como foco de la parábola y L1 como directriz de esta. Vemos como es posible formar una parábola a través de sus puntos tangentes simbolizados en el dibujo con círculos.
Si tomamos uno de los puntos de L1 y lo posamos sobre P1 y doblamos una línea perpendicular a L1 al momento que esto se este ejecutando podremos comprobar la definición de parábola observando así que todos los puntos de la parábola equidistan del foco y de la directriz.
El (O5) es la base para la demostración del teorema de haga el cual veremos mas adelante.
Ya hemos visto que el hecho de poner un punto sobre una línea forma una tangente a una parábola, el axioma 6 es la duplicación del axioma 5, entonces es equivalente a plegar una tangente común a dos parábolas, esto es porque existe una parábola con foco P1 y directriz L1 y otra parábola con foco P2 y directriz L2. Ahora además este pliegue es equivalente a resolver una ecuación cúbica lo que veremos mas adelante.
En las entradas anteriores hemos visto como podemos analizar algunos tipos de proporciones en función de la diagonal del cuadrado, ahora veremos el teorema de haga el cual nos permitirá determinar diferentes tipos de proporciones racionales e irracionales.
Para poder demostrar esto iremos mas haya que obtener la solución particular que plantea el problema, esto es generalizar para cualquier valor de “x” que será nuestra variable independiente.
Analicemos la situación, lo que estamos haciendo al poner el punto F sobre la recta IJ es forma una media parábola la cual tendrá foco F y directriz IJ, esta parábola se esta abriendo hacia el vértice H el cual será nuestro ultimo punto tangente en el cuadrado. Si posamos el punto F sobre I lo que estamos haciendo es doblar la recta tangente al vértice de la parábola, la cual a la vez es equivalente a doblar la mediana del cuadrado.
La figura anterior ilustra como hemos coordenado nuestra parábola, ahora debemos tener en cuenta un par de teoremas bastante simples los cuales nos ayudaran a resolver el problema. (Pitágoras; Tales)
La primera parte es determinar la ecuación de la parábola que estamos doblando y puesto que el vértice de la parábola esta en el ½ la parábola tendrá como ecuación base.
Es fácil ver que como la parábola pasa por el punto H que esta coordenado en el (1,1) es posible obtener la ecuación completa. Puesto que el lado de nuestro cuadrado es igual a 1 podemos empezar a determinar los demás lados mediante el teorema de tales y el teorema de Pitágoras.
El lado “z” lo hemos obtenido a través del teorema de Pitágoras, el lado “c” es simplemente lo que no a ocupado x por eso es (1-x), los lados a, b, ehan sido obtenidos a través del teorema de tales y por ultimo los lados d y f simplemente por resta de segmentos. Verifícalo!
La idea es despejar todos los valores de nuestros lados en función de x para así poder ingresar un valor conocido para poder obtener las distintas proporciones.
Ahora, el teorema decía que si x=1/2 el lado a será 2/3 y que además los lados de los triángulos estarán en razón 3,4,5 verifiquémoslo!
Además de esto podemos demostrar los corolarios de teorema.
Tres de los cuatro corolarios están presentados acá, el ultimo puedes verificarlo con un poco de algebra al igual que el de la relación de los triángulos.
El teorema de haga nos entrega una herramienta muy útil en el ámbito de la construcción geométrica, ya que con esto podemos hacer las famosas grillas que nos permiten hacer los tediosos box-pleating además de determinar una infinidad de valores.
Duplicación del cubo.
La duplicación de un cubo esta dada por obtener un cubo que posea el doble del volumen de otro, este problema es clásico en la geometría con regla y compás, en la cual no es posible de resolver puesto que esto equivale a resolver una ecuación de tercer grado.
El problema en si radica en obtener el termino 2^(1/3) o dos segmentos que estén en esa proporción. Puesto que el volumen esta dado por la multiplicación del largo por el alto y por el ancho y que un cubo tiene lado a su volumen será a^3 luego el volumen del cubo resultante debe ser 2a^3
Peter messer es el autor de esta simple forma de plegar esa proporción.
Vamos a verificar esta relación mediante el teorema de haga, a pesar que este pliegue hace uso del axioma 6 y veremos como se forma una ecuación de tercer grado.
Utilizando la generalización para el teorema obtenemos los valores en función de x que están actuando, pero observemos que no conocemos el valor de x, con lo que podría pensarse que la aplicación del teorema no es válida, pero observemos la siguiente figura.
Vamos a restringir los valores de b y c para hacerlos conocidos, con esto obtenemos una nueva relación y usando el teorema de Tales obtenemos:
Para poder resolver la ecuación debemos escribirla en su forma general, esto se hace a partir de sencillos pasos algebraicos.
Notemos como se ha formado una ecuación de tercer grado cuya solución para x satisface la relación. Como el lado “c” originalmente tiene un valor 1-x es posible obtener su valor real y gracias a esto el problema esta verificado. Gracias a esta relación nosotros podríamos construir perfectamente un cubo que posea el doble del volumen de otro cubo, si lo miramos del punto de vista de la entrada anterior podemos extraer dos rectángulos gracias al pliegue hecho y a partir de ellos fabricar dos cuadrados que con el modulo para el cubo formaríamos la visualización de manera rápida.
Ecuación cúbica.
Habíamos dicho que el axioma 6 es equivalente a una ecuación cúbica y ahora veremos porque.
Tomaremos 2 puntos P1 y P2 con coordenadas (p,1) y (r,q) respectivamente y dos líneas L1 y L2 con ecuaciones y+1=0 y x+r=0 respectivamente, la hipótesis dice que poner el punto P1 sobre L1 y P2 sobre L2 al mismo tiempo la pendiente del doblez será solución de la ecuación x3+px2+qx+r=0.
Al hacer el dibujo de la situación notarás que el vértice de la parábola se encuentra en el punto (x1,0). El operador diferencial nos permite obtener la recta tangente a una curva en un punto dado, en el caso de la p1 el punto tangente será (x1,y1).
La ecuación de la parábola para este caso es distinta puesto que p2 está con eje de simetría horizontal y no vertical como era el caso de p1, ahora la ecuación general de la parábola será (y-k)^2 = 4p(x-h), haciendo el dibujo de esto veremos que el vértice de la parábola esta pasando por el punto (r,0), luego diferenciando obtenemos la ecuación de la recta tangente a p2 en el punto (x2,y2).
Una vez hecho esto es necesario igualar las ecuaciones “u”, diciéndolo en términos simples asegurarnos que las parábolas están trabajando juntas haciendo uso del axioma 6.
Con esto hemos mostrado que la construcción con el axioma 6 es equivalente a una ecuación cúbica, pero ¿como sabemos que el lo que estamos resolviendo?
Hace un rato dijimos que una de las cosas que la geometría clásica no había sido capaz de resolver era la duplicación del cubo que perfectamente puede ser el resultado de la ecuación x3-2=0, y otro de los problemas era la trisección de un ángulo que al igual que la anterior es resultado de una ecuación cúbica. Pero ¿como relacionamos los términos de la ecuación cúbica con puntos y líneas constructibles en origami?.
Solución de la ecuación cúbica.
La situación nos plantea el hecho de conocer 2 punto C y D coordenados (a,b) y (c,d) respectivamente y la acción de posar siempre C sobre el eje Y y D sobre el eje X simultáneamente obtenemos la recta que esta pasando por BF, ahora ya sabemos que la recta BF es la representativa de la solución de la ecuación cúbica planteada y lo que haremos serárelacionar los coeficientes de la ecuación con los puntos coordenados.
Lo primero que debemos tener en cuenta es la siguiente condición.
Esto significa que la solución que encontraremos será del tipo real y no imaginaria conjugada.
Entonces lo que haremos es coordinar los puntos B y F respecto de las coordenadas C y D.
Observemos que primero determinados los tramos OG y OA mediante un poco, pero bien poco de trigonometría. Los puntos B y F se encuentran justo a la mitad de los tramos AC y DG.
Una vez despejados los valores de las coordenadas B y F debemos calcular la tangente t del ángulo alfa, es interesante notar en que puntos el ángulo alfa se esta formando, esto es equivalente a una rotación del plano en el ángulo dado.
Al ingresar los valores en t obtenemos una nueva ecuación cúbica la cual esta en función de los puntos C y D y por comparación podemos relacionarlas y poner a, b, c, d en función de p, q y r y así poder coordinar nuestros puntos que serán colocados sobre los ejes OY y OX. Gráficamente la situación es la siguiente.
En la figura anterior podemos ver como se han formado las dos parábolas en acción al momento de ejecutar el axioma 6 para un caso general, notemos que la parábola con foco C tiene eje de simetría horizontal y que la parábola con foco D tiene eje de simetría vertical, además de esto podemos observar por donde esta pasando la común tangente a las parábolas.
Con esto podemos resolver ecuaciones cúbicas con doblado de papel y pondremos un poco de práctica en aquello.
Resolvamos la duplicación del cubo a partir de la ecuación x^3 -2=0, a partir del análisis anterior obtenemos
p=0 ; q=0 y r=-2
mediante el análisis anterior determinamos que
a=1 ; b=1 ; c=1/2 y d=2y por lo tanto tenemos los puntos C=(1,1) ; D=(1/2,2)ahora lo que haremos será coordinarlos en nuestra hoja de papel.
Notemos que a pesar de haber cambiado de altura los puntos C y D se siguen posando sobre Y, y X respectivamente. La razón entre los lados en que L1 corta a nuestro cuadrado es 2^(1/3) o raíz cúbica de 2.
Trisección de un ángulo
Para resolver la trisección de un ángulo con origami necesitamos resolver una ecuación cúbica cuya solución sea el ángulo trisectado. Por ejemplo.
Por el análisis de la ecuación cúbica en origami podemos determinar los valores de a, b, c y d para coordenarlos en el nuevo plano.
Vemos que para este caso
p= -3S; q= -3 y r= S con esto obtenemos que a=1; b=S ; c= -1 y d=-S , así vemos que los puntos a coordinar serán C=(1, S) y D=(-1, -S).
para poder obtener la solución será necesario coordinar un plano que a diferencia del que usamos para la duplicación del cubo deberá estar en función de xy S. observar que S viene dado por la tangente del ángulo total.
Si tomamos un valor en el eje x=1 obtenemos un valor para tg3α= s, luego de esto coordenamos nuevamente el plano para mayor comodidad tomando las referencias de la altura de ángulo (S) y el largo del ángulo (x).
Notamos que hemos plegado hasta ahora es la recta solución de la ecuación de tercer grado, L1 representa una rotación del plano, esto quiere decir que el plano original a tenido una rotación igual a α grados, así que lo que debemos hacer es trazar una recta perpendicular a L1 y que a la vez pase por w para terminar trisectando el ángulo 3α.
Las aplicaciones de la matemática en el origami son muchas más que las que he presentado acá. He tratado de mostrar las cosas que para creadores destinados a la obtención de proporciones o números particulares en sus creaciones serian más útiles.
