viernes, 19 de septiembre de 2008

Módulo, módulo, módulo, módulo…

No soy un gran doblador de módulos y menos aun un fanático, pero hace poco tiempo que me han empezado a atraer de manera peligrosa, a tal punto que he dejado un poco de lado la creación a la que estaba acostumbrado (pero nunca tanto).
La palabra módulo tiene varias acepciones en la vida cotidiana pero la que se relaciona mas al mundo del origami es la siguiente:

Modulo: elemento combinable con otros de la misma naturaleza o que concurren a una misma función.

La definición anterior es genérica pero en origami módulo significa figurita relativamente simple que debe ser doblada una y otra vez … una y otra vez!!!, hasta que se llegue a un determinado numero que permita el ensamble y que converjan juntas a algo que se llama modular.

Todos hemos doblado alguna vez un modular, incluso en mis tiempos de rebeldía frente al papel cuando lo único que buscaba era la siguiente figura ultra compleja que plegar.

Siguiendo con mi ignorancia modular me tocó un día plegar un par de estos que una amiga me había dicho que intentara porque ella iba a intentar un modelo mío, entonces fue así como plegué un par de módulos bastante sencillos, pero mi curiosidad fue mas allá…

El modelo final se veía bastante bien y eso me hizo plantearme la posibilidad de crear un par de módulos
¿Pero como se crea un modulo?

O quizás antes de esa pregunta debería preguntarme
¿Qué voy a crear con módulos?

Algunos de los expertos en este tema me golpearían por tan básica pregunta (xp), la cosa es que crear módulos para mi es nuevo, porque la mayoría se acostumbra solo a doblarlos o a hacer figuras nuevas con módulos ya inventados, pero observando con mas calma el mundo modular es todavía mas complicado formularse estas preguntas, entonces ¿Qué hacer?

El mundo modular esta formado en gran parte por composiciones de tipo geométrico, esto es, representaciones de sólidos o cosas que parecen sólidos geométricos básicos, con algunas variaciones interesantes, el punto está en que casi todo esto ya esta hecho, pero para nuestro ejercicio estudiaremos como se construyen algunos sólidos básicos mediante origami modular.

El origami modular lo considero un diseño orientado a formas y planos, pero aquí vas un paso adelante, esto es, si vamos a representar una figura real parametrizable en pequeñitas figuritas igualitas (valga la redundancia) es necesario conocer esta figura en particular y no conocerla a la rápida, si no que hay que estudiarla a fondo, esto es determinar sus ángulos, longitudes de aristas, saber el numero de vértices y cosas por el estilo.

Sólidos platónicos

Existen 5 sólidos platónicos: el cubo, tetraedro, octaedro, icosaedro y dodecaedro. Las propiedades de estos sólidos están determinadas por ser poliedros convexos que están compuestos por polígonos regulares del mismo tipo y todas sus esquinas en cada sólido son todas las misma. Los solidos platónicos son también llamados sólidos regulares o poliedros regulares. Otra característica importante en ellos es su dualidad o reciprocidad que esta referida a la posibilidad de construir uno de ellos a partir de otro.




El cubo (Hexaedro)



Paralelepípedo rectángulo cuyas aristas y ángulos son iguales.
Todos hemos tenido un cubo en nuestras manos, de cierto modo es el mas simple, porque ya que estamos acostumbrados a trabajar con hojas cuadradas y por ende las caras de un cubo no deberían ser problema, puesto que como son cuadradas podemos saber como construir una sección cuadrada, el punto es que los módulos tienen algo que es muy importante y haciendo una abstracción de lo que digo en este blog diría “no vale cortar” y tampoco pegar, por esta razón es necesario pensar en una unión, una tranca que nos ayude a que la figura no colapse con cualquier movimiento, es por esta razón que hay que poner un “poquito harto” de ojo en aquello.
Aprovechando que el cubo lo vemos como el más desvalido de nuestros sólidos de estudio hasta el enganche será fácil, así que:

Diagrama rápido de cubo modular


Notamos que ha sido bastante simple construir algo como esto, ya que dos caras contiguas son suficientes para generar un enganche, además de notar que hemos construido una sección cuadrada con dobleces paralelos a la hoja con proporciones totalmente arbitrarias.


¿Ahora podría ser posible generar otro cubo con la misma idea de enganche pero con alguna variación en la cara visible?

Siguiendo con el proceso nos encontraremos con algo interesante.

El Tetraedro


Poliedro de cuatro caras, en si es una pirámide de base triangular, esta compuesto de 4 triángulos equiláteros. Equilátero significa de lados iguales y puesto que la suma de los ángulos interiores de un triángulo suman 180º quiere decir que cada ángulo mide 60º.

Ahora ¿sabemos formar un ángulo de 60º?
¡Si no lo sabe, yo le enseño! XD

Diagrama rápido de formación de ángulos de 60º


Ahora ¿Cómo vamos a abordar el tetraedro?
¿Lo separaremos por caras al igual que el cubo?
Podría ser, pero se me ocurrió esto: separar el tetraedro en dos módulos compuestos cada uno obviamente por 2 triángulos equiláteros pero unidos por uno de sus lados.
Una vez que ya he decidido la sección que voy a utilizar debo pensar en el ensamble, con lo poco que sabia de modulares cuando inventé este lo diseñé con un sistema bolsillo-aleta (sistema predominante en el ensamble de módulos).

Diagrama rápido del módulo para el tetraedro



Notar que al haber decidido construirlo a partir de 2 secciones nos encontramos que ambos módulos deben ser el espejo del otro, por consiguiente no es posible ensamblar un tetraedro si estas unidades son iguales. Pero esto tiene una ventaja, ya que hemos reducido de manera considerable el numero de partes de nuestro modelo, lo que lo vuelve mas simple y al ser distintas más dinámico. (En todo caso no le alcanza ni siquiera para ser tedioso).

Diagrama del ensamble para tetraedro


Sin querer queriendo ya tenemos 2 unidades iguales-opuestas que no hemos probado por si solas pero que unidas trabajan bien, entonces debemos seguir adelante.




El Octaedro


Es un sólido compuesto como su nombre los dice por ocho caras, caras que son triángulos equiláteros.
Otra vez triángulos equiláteros, entonces ¿será posible construirlo con los módulos anteriores?
Si observamos el octaedro con calma notaremos que es parametrizable en 4 secciones compuestas por 2 triángulos equiláteros unidos por un lado lo que nos daría un total de 4 módulos.

Diagrama del ensamble para octaedro


Si ocupamos nuestro modulo anterior notaremos algo interesante, puesto que nos quedamos con la duda de que era capaz de hacer por si solo nos encontramos con que a partir de 4 unidades iguales es posible construir un octaedro y problema solucionado.

Suponiendo que intentaste crear tu propio tetraedro a partir de una unidad por cara ¿es posible construir un octaedro a partir de esa misma unidad?

El Icosaedro




Sólido que tiene veinte caras planas compuestas cada una por un triángulo equilátero.
Al igual que los dos sólidos anteriores es posible parametrizarlo en 10 módulos compuestos cada uno por 2 triángulos equiláteros.

Si observamos la malla más simple de formación de un icosaedro notaremos que en esta ocasión haremos uso de los dos módulos opuestos, esto es 5 de cada uno y se ensamblarán así.

Ensamble de módulos para el icosaedro




El modulo diseñado a sido bastante efectivo, pero aun no lo hemos dimensionado en su totalidad, puesto que tiene muchas otras aplicaciones y esta en cada uno explorar las composiciones de otras figuras en las que pueda ser ocupado por si solo o en combinación con su reflejo por ahora un ultimo ejemplo para esta unidad pero con el desarrollo de tarea.



El Dodecaedro



Poliedro de doce caras cada una compuesta por un pentágono regular.
Los pentágonos podría decirse que son uno de los puntos débiles de los origamistas y del mundo matemático en general, una de estas figuras es difícil de construir, puesto que es complicado de referenciar, por esta razón la mayoría de los pentágonos que se puedan formar a través del origami son aproximados, esto es con variaciones angulares de 1º o quizás un poco mas, sin dejar de mencionar que existe una forma de construir un pentágono regular de una manera bastante exacta (mediante un argentic rectangle), por esta razón tenemos que tener en cuenta que la determinación de ángulos que hagamos debe ser lo mas cercana posible al original, porque como todos sabemos cuando existe error el error crece a medida que se ejecuta una misma acción errónea.

Ahora ¿Cuál elegiremos como nuestro modulo para construir el dodecaedro?

El modulo que nos a ayudado más hasta ahora a estado compuesto a partir de dos caras de un sólido de n caras, pero en este caso cuando me enfrenté al problema me di cuenta que me costaba determinar un pentágono, menos me iba a poner a inventar un modulo con bolsillos y aletas compuesto de 2 pentágonos, así que volviendo a lo natural y acordándonos del desvalido pero sabio cubo decido construir un modulo por cara, esto es 12 módulos en total.


Diagrama rápido para modulo pentagonal



Determinación de ángulos para el pentágono




Los valores de las proporciones están tomados reverenciados en la diagonal de un cuadrado de lado 1, entonces por eso se puede observar en la figura1 dos proporciones distintas que en sí son la misma. La que esta sobre la diagonal se obtiene al posar uno de los lados del cuadrado sobre la diagonal bisectando así uno de sus ángulos, puesto que la diagonal mide √2 y el lado 1 posando este último sobre la diagonal provocamos una resta de segmentos que se interpreta como √2-1:1, que se lee raíz de 2 menos 1 es a 1, puesto que esa es la relación que existe desde que comienza la diagonal al punto y desde el punto hasta que termina la diagonal. La segunda proporción en la figura 1 es la conjugación de la primera puesto que la diagonal de un cuadrado mide A√2 siendo A la medida del lado del cuadrado si nos encontramos con un cuadrado que su diagonal mide √2-1 su lado medirá (√2-1)/√2.
En la figura 2 se observa una proporción que dice (√2-1)/2√2 la cual es resultado de llevar el lado inferior de cuadrado al punto en cuestión lo que nos lleva a dividir en dos partes iguales la segunda proporción de la figura 1, además se muestra la creación de una línea que une dos referencias, la inclinación de este segmento nos dará la mitad del ángulo que buscamos puesto que ella se debe espejar hacia el lado contrario completando el arco.
En la figura 3 se pueden notar dos ultimas proporciones que corresponde a los valores de 2 de los tres lados que contienen al ángulo en negro, con esto y un poco (pero bien poco!) de trigonometría podemos determinar el ángulo negro. Mediante la función tangente que relaciona el lado opuesto dividido con el lado adyacente de nuestro ángulo (notar que estos lados son los que conocemos; si se tratara de otra combinación se deben utilizar las funciones seno o coseno según corresponda), luego de obtener ese valor se aplica arco-tangente (arctan), que lo que hace (para que la gente bonita entienda) es invertir la función tangente y la convierte en un determinado ángulo, en términos aun mas sencillo es como elevar al cuadrado un numero y luego extraer su raíz, es un ir y volver.

El modulo pentagonal original no tiene esta proporción, es mas exacta pero los procesos para llegar a ella son mas tediosos por eso la determinación del ángulo lo hago con esta sencilla proporción, además que con esto el ejemplo es mas general, así obtenemos un ángulo de 109.47º que corresponde a uno de los interiores de nuestra figura, puesto que el pentágono regular tiene 5 ángulos de 108º tenemos un error de 1.47º, ahí hay después un poco mas de trabajo en tratar de disminuir ese error.


Debo agregar que en el mundo modular y antes que cualquier sabiondo en módulos lo diga existen variados tipos de formas de representar estas mismas figuras, ya que las que hemos explorado hasta ahora han sido solo los referidos a las caras de las figuras, existen también los modulares, tipo marco que son aquellos que forman solo las aristas de la figura que en general nos permiten observar el modelo desde dos perspectivas, dentro y fuera.
Ahora, seria un buen ejercicio para los que quieran especializarse en esta área crear sus propios modulares a partir de caras y luego de marcos, o vise-versa.

En si hasta ahora hemos visto una resolución muy simple de módulos para figuras que no se ven y que en general no son muy complicadas, pero el mundo de la geometría es muy fértil, existen las llamadas stellations (estelaciones) y es a estos a lo que le echaremos una miradita ahora.

Estelaciones

La estelación es un proceso por el cual se construyen nuevos polígonos (en dos dimensiones), nuevos poliedros (en tres dimensiones), o en general nuevos polytopes de n dimensiones. El proceso consiste en extender elementos tales como son los lados o las caras planas, usualmente en una dirección simétrica, hasta que se unan con otra de nuevo. La nueva figura es una estelación de la original.

Ejemplo con estelación pentagonal.





Al momento de mirar modelos de este tipo la primera impresión no es para nada desagradable, los sólidos estrellados no son para nada despreciables si no mas bien bastante llamativos y más para los que estamos acostumbrados a pensar en puntas en origami (mientras mas puntas mejor).
Ahora ¿Cómo vamos a construir una de estas maravillas geométricas?

Hagamos un poco de memoria…
Mas de alguno de debe haber llamado la atención que el modulo para el tetraedro, octaedro y icosaedro era a partir de una hoja rectangular de 1:2 (uno es a dos), eso tiene una razón particular, para efectos prácticos de construcción del modulo no es necesario el resto del papel puesto que nos encontraríamos con un mayor grosor que en si solo dificultaría mas su doblado y/o su ensamble. Ahora el hecho que se puedan construir a partir de diversas figuras ya sean rectángulos, triángulos u otra figura fundamental es porque sus orientaciones angulares, longitudes o secciones no son aptas para un cuadrado, pero si quieres hacer algo mas artístico y jugar con los colores los módulos se puede construir desde un cuadrado obteniendo resultados interesantes.



En la figura anterior aparecen tres estalaciones de las cuales dos son muy similares, (similares en el modulo que podríamos utilizar) si observamos el dodecaedro estrellado (segunda figura) y el icosaedro estrellado o gran dodecaedro estrellado (cuarta figura) veremos que sus diagramas de cara son el mismo, esto es porque tienen los mismos ángulos y la misma cantidad de secciones por cara, luego que determinemos los ángulos a utilizar pondremos manos a la obra en el papel y construiremos un modulo común para ellas.

Lo primero que se me ocurrió fue hacer el módulo basado en el modulo en 60º que usamos para el tetraedro pero aquí aparece algo nuevo y que se refiere a lo que hablamos de constructibilidad del modulo y a partir de que figura fundamental se debe iniciar.



Dijimos que cada ángulo interno del pentágono tenía de mesura 108º, ahora por propiedad de un ángulo extendido sabemos que el ángulo contiguo es 72º, luego como el triangulo superior corresponde a un isósceles sabemos que tiene 2 ángulos de 72º y el que falta es la suma de los dos anteriores restada a 180º que es la suma de los internos y con esto determinamos que el ángulo superior es 36º.
Como estábamos pensando en el modulo en 60º decido que el lado mas largo del rectángulo vale 1 y su lado mas angosto ½ y puesto que en el lado mas largo llevábamos los extremos al centro funciona como que lo dividiéramos en cuatro partes iguales, por eso uno de los catetos mide 1/4.

Notemos que la magnitud X es superior a la medida del ancho de nuestro rectángulo inicial puesto que este tiene de lado 0.5 y X mide 0.769…, entonces en este caso nos conviene que sea un cuadrado la figura a utilizar.
En este punto estamos partiendo un paso antes para la determinación del ángulo en comparación con lo que hicimos para el dodecaedro, aquí sabes cual es nuestro objetivo que es el punto en el cuadrado con mesura “X”, ahora tenemos que tener en cuenta que al igual que en el ejemplo anterior saber el objetivo es importante pero la puntería se gana con práctica.



Notemos como la proporción inicial se refleja en la parte superior del cuadrado (segunda figura), de la misma manera podemos determinar el resto de la proporcionalidad de este pliegue que en términos simples es lo que falta para llegar a 1. Llevando el lado superior hasta la marca en el lado izquierdo del cuadrado producto del pliegue trazando así una mediana en el segmento y obtenemos (√2-1)/2, esto sumado con el valor 2-√2 obtenemos el valor (3-√2)/2 que desarrollado es aproximadamente 0.7928…. Sabemos que para efectos del ejercicio nos perdonamos un error y utilizamos esta medida para determinar el ángulo y obtenemos uno de 17.5º lo que nos da un error de 0.5º, menor al obtenido en el pentágono, por consiguiente el ángulo total a desarrollar será de 35º.





Este es el plano del modulo que tiene la misma distribución que su antecesor en 60º.
La estelación restante es una buena tarea para quien quiera desarrollarla.
Existen muchas figuras de este tipo algunas hechas a partir de las caras o a través de los marcos y no podía dejar de mencionar a la mas famosa de todas las estelaciones (en origami), esta es a partir de un icosaedro y también es conocida como los cinco tetraedros intersectados.

Cinco tetraedros intersectados




Esta figura es una de los modulares más famosos, es enigmático, a la vez un puzzle desafiante y para que decir de la visión final que no es menos espectacular.
Tom Hull es el Papi de este modelo, ya que es quien desarrollo el marco tetraédrico para generar el FIT, el cual se puede encontrar para quienes quieran plegarlo en su Web.
Ahora al final del instructivo aparecen una preguntas y un desafío en particular, construir este objeto de manera sólida, en el mundo deben haber muy pocos además todos los autores son lo bastante mezquinos para querer enseñarlo, entonces ¿que nos queda?
Hacerlo!!!

Como dije anteriormente este objeto es producto de la estelación de un icosaedro.



Observemos que las secciones en amarillo son las que representan cada cara sobre saliente de un tetraedro en el objeto, podemos advertir por su composición que necesitaremos tres módulos por punta lo que nos da un total de 60 módulos para el objeto final. El problema no se detiene allí, la sección mostrada en el diagrama de caras no es un amable puesto que presenta un quiebre muy importante, así que lo que haremos será redefinirla.


Lo que he hecho es unir ambas secciones haciendo que coincidan con su lado de igual longitud y con esto también poder separarlas, esto significa que puesto que ambas secciones poseen ángulos que no son amables entre si es mejor dibujar esta sección en un rectángulo 2:1, así sacando cada una desde su propio cuadrado. Notar además que en el lado izquierdo he hecho una completación de ángulo, para así formar un ángulo de 60 y reducir dificultades. Como hipótesis se emplea que la parte que añadí para formar el ángulo de 60º quedara bajo la porción del lado derecho no afectando así al modelo además de facilitar el enganche.






Notemos que los ángulos son bastante constructibles y además al momento de inscribir nuestra sección en el rectángulo con un par de proyecciones rectangulares entre si pero en 45º en la hoja podemos determinar a la altura que se presenta el quiebre que separa ambas secciones en la parte baja.
Una vez hecho esto nos queda una importantísima parte de la cual no hablamos desde la hora pasada (XD).

Aletas y bolsillos

En las figuras que estudiamos hasta ahora notamos que poseían dos aletas y dos bolsillos iguales lo que no era problema, pero si miramos el FIT este debe poseer por nuestro tipo de modulo dos tipos de enganches distintos, uno que construya las puntas de los tetraedros y otro que genere esas especies de estrellas retorcidas en que se intersectan los tetraedros.


Ahora vamos a dejar de lado el BLA-BLA y pondremos manos a la obra.
Aquí les presento un resumen del diagrama que hice para el modulo del FIT sólido, espero lo disfruten y puedan plegarlo sin mayores problemas.









Descripción

Como ya dije anteriormente el modelo se resume a 60 módulos en acción aquí les presento el ensamble del modelo, el cual consta de 2 partes, recomiendo ensamblar primero la parte 2 esto es crear todas las estrellas que constan de 5 módulos cada una haciendo un total de 12 estrellas y luego que estén formadas continuar uniendo estrellas mediante el ensamble 1, esto es importante, porque podemos notar que ambos ensambles difieren de manera considerable y no por la forma de ensamble, si no por su posición, puesto que el ensamble 1 es un ensamble externo y el ensamble 2 es interno entonces seria muy difícil crear todos los cascos de los tetraedros y luego querer unirlos armando las estrellas puesto que llegado el final no podríamos cerrar el modelo porque no hay forma de introducir dedos ni herramientas para generar los ensambles.


Pido disculpas por la foto del FIT, puesto que cometí un error en el poseso de ensamble y me quedaron los colores revueltos en vez de quedar formando los tetraedros coloreados correctamente, pero como dije hace 2 horas atrás “No soy un gran doblador de módulos y menos aún un fanático, pero hace poco tiempo que me han empezado a atraer de manera peligrosa”.



Abrazos a todos y espero links para ver a los valientes que se atreven con un FIT sólido.

… modulo, modulo, modulo, modulo… MODULAR!!! Uff! (XP)







6 comentarios:

Jaime Niño dijo...

Felicitaciones Nicolás, una muy buena entrada y excelente el módulo para el plegar la intersección de tetraedros

Anónimo dijo...

Muy buen trabajo..
lo mejor de todo que ese origami
lo tengo yo jajajaja.....y no sabia hasta ahora que se haria famoso en internet... 1 besito

mechiz dijo...

quien dijo que somos incomprendidos!!
No hace mucho en mi blog arme un post sobre sonobes que me llevo a delirar sobre los Sólidos Platónicos... pero leyendo todo esto me siento super pequeñita! :o)

un placer haber encontrado este blog!
saludos!!

Alejandro Pascual dijo...

Sin palabras una entrada increible como todas las de tu blog , son geniales , gracias Nicolas.
Pasate por mi blog , tienes una sorpresa :P
Saludos
www.elrincondelorigami.blogspot.com

Dayun Avilez dijo...

PUTOS RACASAPA

Dayun Avilez dijo...

ANDECEN A LA VERFA HIJOS DE PUTSOO AGYYYYYYYYYYY